Математика как область личного развития
Все технологические объекты, которыми вы пользуетесь, все протоколы связи, обработки информации и автоматизации основаны на последовательностях математических абстракций. Процесс цифровизации мира и нашей жизни неимоверно усилил и без того ключевую роль математики в науке и технике. Каждый день для нее открываются новые применения, о которых раньше и не подозревали. Это относится в том числе к областям так называемой чистой математики, таким как алгебра и геометрия, которые долгое время считались «бесполезными».
Но математики знают, что есть две разные версии математики. Официальная версия находится в учебниках – там она представлена логически и структурированно, на заумном языке, основанном на загадочных символах. Скрытая версия находится в голове у математиков и называется математической интуицией. Она состоит из мысленных представлений и абстрактных ощущений, часто визуальных, которые кажутся математикам очевидными и приносят им удовольствие. В книге «Путь к сути вещей», недавно изданной в «Альпина Паблишер», французский математик Давид Бессис рассказывает, почему постижение математики – это прежде всего внутренний опыт, чувственный и духовный поиск. Этот опыт мало похож на то, чему нас учат в школе. Отчасти это своего рода ясновидение, экстрасенсорное мышление. Отчасти это продолжение того загадочного процесса, который позволил нам в раннем детстве научиться говорить.
ЧТО ЗНАЧИТ ПОНЯТЬ МАТЕМАТИКУ
Математика придает нашему миру форму. Она – инструмент власти и господства. Но для тех, кто живет ею, постижение математики – это прежде всего внутренний опыт, чувственный и духовный поиск. Этот опыт мало похож на то, чему нас учат в школе. Отчасти это своего рода ясновидение, экстрасенсорное мышление. Отчасти это продолжение того загадочного процесса, который позволил нам в раннем детстве научиться говорить.
Понять математику – значит пройти тайной тропой, ведущей к гибкости нашего детского ума.
Самое трудное в понимании работ Эйнштейна – математический формализм
Он же создавал больше всего проблем и самому Эйнштейну. Как тот однажды признался школьнице, просившей у него совета: «Не переживай насчет своих проблем с математикой, уверяю тебя, у меня их намного больше».
Также Эйнштейн: «У меня нет особого таланта. Я просто страсть как любопытен». К его словам стоит относиться серьезно и задать три вопроса:
- 1. Откуда взялось любопытство Эйнштейна? Как Эйнштейну удавалось находить удовольствие в занятиях физикой?
- 2. Как Эйнштейну удавалось не сдаваться? Быть «страсть как любопытным» – значит иметь способность интересоваться чем-то с неослабевающим интересом, увлеченно, не пасуя перед сложностями. Эйнштейн нашел способ приручить свой страх и воспротивиться рефлекторному желанию сбежать.
- 3. Что именно происходило, когда Эйнштейн запирался в комнате наедине с проблемой?Или, если говорить прямо, что Эйнштейн делал с проблемой? С какой стороны он к ней подходил? Как он действовал, чтобы с ней справиться?
ТРИ ЗАБЛУЖДЕНИЯ О МАТЕМАТИКЕ
- 1. Чтобы заниматься математикой, надо мыслить логически. «Логика вообще не предназначена для мышления. Она нужна для других вещей.
- 2. Некоторые из нас от природы в ладах с числами, а некоторые от природы наделены хорошей геометрической интуицией. Увы, подавляющее большинство не понимает в математике ровным счетом ничего, и с этим надо смириться.
- 3. Великие математики родились с иной структурой мозга, чем у нас.
Интуиция – это смысл математики
Без интуиции математика не значит буквально ничего. Ошибочно считать, что математическая интуиция – нечто статичное, непреодолимый рубеж. Ведь наше интуитивное представление о математических объектах не врожденное, не застывшее. Мы можем выстраивать его, выращивать день ото дня, если только следовать верной методике.
ТРИ СЕКРЕТА МАТЕМАТИКОВ
- 1. Занятия математикой – это физическая активность. Чтобы понять то, чего не понимаешь, нужно выполнять в уме скрытые действия – невидимые, но необходимые, – которые позволят обогатить интуицию и развить новые мысленные представления, более глубокие и мощные.
- 2. Есть метод, позволяющий отлично разбираться в математике. Этот метод никогда не преподают в школе. Он требует не усилий, а простоты. Его можно сравнить с техникой скалолазания, боевым искусством, своего рода йогой или медитацией.
- 3. Мозг великих математиков работает так же, как и наш.
Многие ученые-математики признавались, что ощущали себя самоучками. Если вспомнить, какое место занимает математика в школьном образовании, такое ощущение выглядит парадоксальным.
Самое трудное – научиться говорить
Неслыханный, необычайно долгий, ужасающе тяжелый труд. В полтора года мы практически не можем пролепетать ничего внятного. И все же тренируемся весь день напролет. Никто не думает: «Разговаривать – это не мое. Оно того не стоит. Слишком уж тяжело дается». Речь не инструмент по выбору. Это не занятие, доступное лишь избранным, – богатым или гениям.
Слушать урок математики так, как мы слушаем урок истории или биологии, – так же нелепо, как конспектировать занятия йогой – тщательно, чтобы точно ничего не забыть. В математике нужно не заучивать, а делать.
Интуиция — наш единственный интеллектуальный ресурс.
Вы никогда полностью не доверяете логическим аргументам, вам гораздо проще с тем, что вы понимаете интуитивно.
Парадокс в том, что, чтобы понять очевидность очевидного, нужно предварительно выстроить мысленные представления, позволяющие это сделать. Стоит один раз создать эти образы – и они позволят видеть суть мгновенно и без усилий. Но для их построения нужно много времени и труда.
Настоящей магии не существует
Стоит вам научиться волшебному трюку, как он перестает быть волшебным. Если математика, которую вы понимаете, кажется вам слишком легкой – это не потому, что она легкая, а потому, что вы ее понимаете.
Начальная стадия открытия – это духовный опыт
Вы мыслите вне пределов языка. Мир озаряется. Вас посещают откровения. Вы видите то, что до сих пор было скрыто. Это настолько ново, что еще не имеет имени.
В ПОИСКАХ МЕТОДА
Прыгун в высоту Дик Фосбери на Олимпийских играх 20 октября 1968 года в Мехико завоевал золотую медаль, установив мировой рекорд. Фосбери ни у кого не копировал этот прием. Он начал обдумывать его в 1963 году, в 16 лет, и посвятил годы оттачиванию техники. Фосбери вполне мог бы удовлетвориться подражанием. Подражание не было для него постыдным. Он не был тщеславен. Он не стремился быть оригинальным или творческим. Он знал, что подражание – самый действенный метод обучения, и, естественно, сначала пытался прыгать как все. Все началось с того, что в старших классах он был самым слабым в команде. Поскольку ему никак не давались официальные техники, он принялся экспериментировать, искать более умный и эффективный способ прыгать: «У меня не было цели выиграть, у меня была цель хотя бы не проиграть». Преимущество его техники заключается в том, что она позволяет преодолеть планку, обогнувшись вокруг нее, так, чтобы центр тяжести проходил под планкой: каждая часть тела постепенно переносится через планку, но в среднем тело все время находится ниже. Так можно преодолеть намного более высокую планку, отталкиваясь с той же силой. Фосбери прекрасно понимал эти научные аспекты. В университете он заинтересовался инженерными науками. Но он пришел к открытию своей техники постепенно, не столько через вычисления, сколько через самоанализ, внимательно прислушиваясь к своему телу и концентрируясь на действиях, которые позволяли ему легче преодолевать планку. Подход Фосбери требовал одновременно решительности и размышлений.
Особенность математики
Одна из особенностей математики – в том, что понять что-то бывает так же сложно, как и открыть; главную роль по-прежнему играет самоанализ. Чтобы воспроизвести невидимые действия, вы должны прислушаться к себе и заново изобрести их в себе и для себя.
Математика таинственна и сложна, потому что мы не можем увидеть, как с ней справляются другие
Можно увидеть то, что они пишут на доске или на листе бумаги, но нельзя увидеть то, что они предварительно проделали у себя в голове и что сделало их способными это подумать и написать.
Глубинный смысл математики
На самом глубинном уровне математика – единственная успешная попытка человечества точно рассказать о вещах, на которые мы не можем показать пальцем. Самые важные строки в математическом тексте – это не теоремы и не доказательства, а определения. Математический язык работает как конструктор, где слова по-настоящему определяются, то есть строятся на базе других слов, которые ранее сами были определены. И именно это позволяет говорить о вещах, на которые невозможно показать пальцем.
Математик Александр Гротендик: «Бояться ошибки – по сути то же, что бояться истины. Тот, кто боится промахнуться, неспособен сделать открытие. Страх оступиться придает ошибке каменную неуязвимость»
- «Бояться упасть — по сути то же, что и бояться ходить».
Логика нужна не для того, чтобы думать. Она нужна, чтобы обнаружить, в каком месте мы думаем неправильно.
Математики придумали метод, который позволяет обнаружить ошибки, пока они у нас в мыслях. Он опирается на письмо, а точнее – на письмо на официальном языке математики, который строится вокруг логического формализма.
Искусство писать о математике
Искусство писать о математике, то есть искусство передавать свои мысленные образы ясно и точно, чтобы и другие могли овладеть ими и воспроизвести их, – это воистину великое искусство. Трудным его делает тот факт, что ваши мысленные образы далеко не так точны, как вы думаете. Что мешает узлу на ваших шнурках развязаться, если он завязан правильно? Если вы этого не знаете – значит, вы не знаете в полной мере, как завязан этот узел. Как объясняет Гротендик, работа по записыванию математики – на самом деле двойная работа по прояснению мыслей и оттачиванию языка. Это тонкое упражнение по психомоторной координации, и нужны годы тренировок, чтобы им овладеть. Хорошая новость: за это может взяться любой и, при наличии необходимых инструментов, двигаться вперед на протяжении всей жизни.Научиться писать о математике – значит научиться мыслить ясно. Было бы жалко себя этого лишать.
Единственная задача математических утверждений – вызывать к жизни мысленные образы, и только эти мысленные образы позволяют понимать. Как только у нас получаются правильные мысленные образы, все остальное становится очевидным.
КАК НАУЧИТЬСЯ ВИДЕТЬ
Как только у нас появляются правильные мысленные образы, все остальное становится очевидным.
То, что мы видим, никогда не является реальностью, это лишь интерпретация мира. Иначе говоря, это реконструкция, порожденная памятью и воображением, на основании необработанных зрительных сигналов, которые мы никогда не осознаём напрямую.
Людям настолько трудно описать и передать собственные зрительные ощущения, что лишь осенью 1792 года хоть кто-то осознал, что мы не равны в биологическом восприятии цветов: около 8 % мужчин и 0,6 % женщин страдают дальтонизмом.
ЗАКОНЫ ПЛАСТИЧНОСТИ МОЗГА
- 1. Пластичность нашего мозга обладает почти сверхъестественным могуществом.
- 2. Все начинается с пустяка.
- 3. Развитие происходит медленно, почти незаметно.
Заново наладить отношения со способностью к обучению из раннего детства – значит перестать верить в эти нелепые истории о дарах и талантах.
Десять или двадцать часов полноценного исследования за пределами нашей зоны комфорта – этого достаточно, чтобы открыть в себе способности, о которых мы и не подозревали. Но сколько раз в жизни вы посвящали десять или двадцать часов чему-то действительно новому?
МАТЕМАТИКУ НЕВОЗМОЖНО ПОНЯТЬ БЕЗ ИНТУИЦИИ
Даниэль Канеман писал о быстрой, интуитивной Системе 1 и рассудительной, медленной Системе 2. Но есть еще Система 3. Система 3 – это комплекс техник самонаблюдения и медитации, направленных на установление диалога между интуицией и разумом. Вы приводите ее в действие каждый раз, когда пытаетесь вспомнить сны, облечь в слова мимолетное ощущение, оставившее странный привкус, распутать самые смутные и противоречивые мысли.
Понять — значит сделать интуитивно очевидным для себя
Математика – это наука воображения. Между теми, кто разрешает себе воображать математические объекты, наблюдать за ними и ими манипулировать, и теми, кто запрещает себе это делать, возникает разрыв. Со временем этот разрыв становится чудовищным и непотребным – настолько же чудовищным и непотребным, как разрыв между детьми, у которых комната полна игрушек, и детьми, которые не знают, что на свете существуют игрушки.
Вопреки стереотипу, логика не враг воображения. Более того, она его величайший союзник. Истинный враг воображения, который затрудняет понимание и заставляет нас чувствовать себя идиотами, – это всегда страх. Страх – вот наш истинный предел.
МАТЕМАТИКА — ЭТО НЕ ЗНАНИЕ, А ПРАКТИКА
«Рассуждение о методе» Рене Декарта – это книга о личностном развитии, чей посыл очень прост: мы способны сами выстроить свой интеллект и уверенность в себе.
Только через безжалостное сомнение, вынуждающее прояснять и уточнять каждую деталь, пока все не станет прозрачно, в конце концов удается получить нечто очевидное. Сомнение – это техника прояснения ума. Оно служит для созидания, а не для разрушения.
Сомнение Декарта – это универсальная техника перепрограммирования интуиции.
В моем опыте запись снов – это деятельность, больше всего приближенная к математическому творчеству.
Я научился не размышлять на интересующие меня темы, а просто пропитываться ими. Различие тонкое, но ключевое. Размышлять – значит пытаться найти решения. Это никогда не работает и мешает спать. Пропитываться – значит созерцать без цели, рассеянно и незаинтересованно. Это уже почти то же самое, что видеть сны.
Действительно ли математика делает людей «странными»? Не думаю. Я бы скорее сказал, что в ней могут найти пристанище люди, которые и раньше были со странностями.
ГРАНИЦЫ ЯЗЫКА
Нечто простое, конкретное и даже очевидное невозможно по-настоящему выразить словами. Эта странность относится не только к понятию слона. Это универсальное явление, отражающее неврологическую реальность мыслительных процессов и наши отношения с языком.
Стремление использовать человеческий язык так, как будто он обладает свойствами математического, будто слова в нем имеют совершенно конкретный смысл, каждая деталь заслуживает толкования, а логической правильности аргумента достаточно, чтобы гарантировать правильность выводов, – характерный симптом широко известной тяжелой болезни: паранойи.
- Людвиг Витгенштейн: «Чем более пристально мы приглядываемся к реальному языку, тем резче проявляется конфликт между ним и нашим требованием».
Логика работает, только когда у слов есть явно выраженный смысл, идеально четкий и не меняющийся со временем. Несмотря на огромные усилия, мы неспособны создать такие определения для слов повседневного языка.
Наш мозг, как мозг любого животного, представляет собой перцептивную машину, которая постоянно производит абстракцию. Мы выстраиваем и поддерживаем представление о мире, материализуемое переплетениями наших нейронных связей. Это представление о мире – последовательность абстракций. На очень глубоком уровне оно приобретает концептуальную природу.
Концептуальная мысль не привилегия людей. Это не эманация языка или культуры. Любой лев тоже мыслит концептуально, и в его голове есть слоновый нейрон.
Хрупкость нашего языка лишь отражение его неврологических основ. Смысл, который мы присваиваем словам, имеет перцептивную природу: мы умеем узнавать слона, но никогда не сможем по-настоящему определить, что это такое.
Любое определение приблизительно. Смысл слов всегда размыт, неоднозначен и изменчив. Мир внутри нашей головы абстрактный и мягкий.
Настоящая цель математики – человеческое понимание.
Математика, которую вы понимаете, усиливает реальность и добавляет в нее волшебный слой понимания. Она делает вас невероятно проницательными.
